Wayne斯皮爾曼相關係數（Spearman Correlation Coefficient）是一種無母數（nonparametric）方法。它將兩個變數分別依大小排序後的等級（rank），再以各等級差進行計算，以衡量兩變數的相關性。
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斯皮爾曼相關係數
斯皮爾曼相關係數計算兩變數 X（independent variable）和 Y（dependent variable）相關性的方向。當斯皮爾曼相關係數為：
- 0 < ρ <= 1：X 增加時，Y 趨向增加。
- -1 <= ρ < 0：X 增加時，Y 趨向減少。
- ρ = 0：X 增加時，Y 沒有任何趨向。
我們定義以下的假設：
- Null hypothesis (H0)：ρ is equal to 0。
- Alternative hypothesis (H1)：ρ is not equal to 0。
接下來，我們要計算 correlation（ρ），並且定義一個臨界值（critical value）。一般來說，臨界值會取 0.05。當 p-value 大於等於臨界值時，H0 為真。
分等級
以下是從 Women Entrepreneurship and Labor Force 取得的部分資料。
| No. | Country | Women Entrepreneurship Index (X) | Entrepreneurship Index (Y) |
|---|---|---|---|
| 1 | Germany | 63.6 | 67.4 |
| 2 | Greece | 43.0 | 42.0 |
| 3 | Ireland | 64.3 | 65.3 |
| 4 | Italy | 51.4 | 41.3 |
| 5 | Latvia | 56.6 | 54.5 |
| 6 | Lithuania | 58.5 | 54.6 |
| 7 | Netherlands | 69.3 | 66.5 |
| 8 | Slovakia | 54.8 | 45.4 |
| 9 | Slovenia | 55.9 | 53.1 |
| 10 | Spain | 52.5 | 49.6 |
先將資料根據 Women Entrepreneurship Index 做排序，然後標上等級 Rank(X)。再根據 Entrepreneurship Index 做排序，並標上等級 Rank(Y)。之後，將成對的 Xi 與 Yi 相減求得 di。最後，加總所有的 di 平方。
| Country | Index (X) | Index (Y) | Rank (X) | Rank (Y) | di | di x di |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Germany | 63.6 | 67.4 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| Greece | 43.0 | 42.0 | 1 | 2 | -1 | 1 |
| Ireland | 64.3 | 65.3 | 9 | 8 | 1 | 1 |
| Italy | 51.4 | 41.3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| Latvia | 56.6 | 54.5 | 6 | 6 | 0 | 0 |
| Lithuania | 58.5 | 54.6 | 7 | 7 | 0 | 0 |
| Netherlands | 69.3 | 66.5 | 10 | 9 | 1 | 1 |
| Slovakia | 54.8 | 45.4 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| Slovenia | 55.9 | 53.1 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Spain | 52.5 | 49.6 | 3 | 4 | -1 | 1 |
| Sum | 10 |
計算 Correlation (ρ)
利用以下公式計算 correlation (ρ)。
所以，根據上面的表格，我們可以求得 ρ = 0.9393。
Python SciPy
我們可以利用 SciPy 的 spearmanr() 來計算出 correlation (ρ) 和 p-value。
correlation, p = spearmanr(x, y)
- x, y：兩個樣本。型態為 array_like。
- correlation：相關性 ρ。型態為 float。
- p：p-value。型態為 float。
範例
from scipy.stats import spearmanr
x = [63.6, 43.0, 64.3, 51.4, 56.6, 58.5, 69.3, 54.8, 55.9, 52.5]
y = [67.4, 42.0, 65.3, 41.3, 54.5, 54.6, 66.5, 45.4, 53.1, 49.6]
correlation, p = spearmanr(x, y)
print('Correlation:', correlation)
print('p-value:', p)
if p >= 0.05:
print('H0 is accepted')
else:
print('H0 is rejected')其輸出如下。
Correlation: 0.9393939393939393 p-value: 5.484052998513666e-05 H0 is rejected
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